题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:A1B⊥AC;
(Ⅱ)当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时,求平面A1B1C1与平面ABC所成的锐角的余弦值.
答案
(Ⅰ)证明:取AC的中点O,连接A1O,BO,
在三棱柱ABC-A1B1C1中,
所有棱长都为2,∠A1AC=60°,
则A1O⊥AC,BO⊥AC,A1O∩BO=O,…(2分)
所以AC⊥平面A1BO而A1B⊂平面A1BO,
∴AC⊥A1B.…(4分)
(Ⅱ)当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时,
点A1到平面ABC的距离最大,
此时A1O⊥平面ABC.…(6分)
设平面ABC与平面A1B1C的交线为l,
在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,AB∥平面A1B1C,
∴AB∥l,…(8分)
过点O作OH⊥l交于点H,连接A1H.由OH⊥l,A1O⊥l知l⊥平面A1OH,
∴l⊥A1H,故∠A1HO为平面A1B1C与平面ABC所成二面角的平面角.…(10分)
在Rt△OHC中,OC=
1 |
2 |
| ||
2 |
在Rt△A1OH中,A1O=2sin60°=
3 |
| ||
2 |
OH |
A1H |
| ||
5 |
即平面A1B1C与平面ABC所成锐角的余弦值为
| ||
5 |
核心考点
试题【如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都为2,∠A1AC=60°(Ⅰ)求证:A1B⊥AC;(Ⅱ)当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时,求平面A1B】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
6 |
(1)求证PA⊥平面ABCD;
(2)求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小.
(Ⅰ)D在AC上运动,当D在何处时,有AB1∥平面BDC1,并且说明理由;
(Ⅱ)当AB1∥平面BDC1时,求二面角C-BC1-D余弦值.
(Ⅰ)求证二面角E-PC-D为直二面角;
(Ⅱ)求点D到面PEC的距离.
(1)求二面角D-A1A-C的大小.
(2)求点B1到平面A1ADD1的距离
(3)在直线CC1上是否存在P点,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出点P的位置;若不存在,说出理由.
π |
3 |
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