题目
题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的大小;
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案
在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1,
在Rt△PBO中,tan∠PBO=
所以异面直线PB与CD所成的角是.
(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为.
设QD=x,则,由(Ⅱ)得CD=OB=,
在Rt△POC中,
所以PC=CD=DP,
由Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在点Q满足题意,此时.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,依题意,易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos,
(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为,
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则所以即,
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设由,得解y=-或y=(舍去),
此时,所以存在点Q满足题意,此时.
解析
核心考点
试题【(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,则面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证:
如图,已知正三棱柱的底面正三角形的边长是2,D是的中点,直线与侧面所成的角是.
⑴求二面角的大小;
⑵求点到平面的距离.
如图5,平面ABDE⊥平面ABC,ACBC,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BDAE,BDBA,AE=2BD=4,O、M分别为CE、AB的中点.
(Ⅰ) 证明:OD//平面ABC;
(Ⅱ)能否在EM上找一点N,使得ON⊥平面ABDE?
若能,请指出点N的位置,并加以证明;
若不能,请说明理由.
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,侧面底面. 若.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)侧棱上是否存在点,使得平面?若存在,指出点 的位置并证明,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
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