题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

答案

解法一：
（Ⅰ）因为 ，所以.
又因为侧面底面，且侧面底面，
所以底面.
而底面，
所以.
在底面中，因为，，
所以 ，所以.
又因为， 所以平面. ……………………………4分
（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，
证明如下：设的中点是，
连结，，，

则，且.
由已知，
所以. 又，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.      ……………8分
（Ⅲ）设为中点，连结，

则 .
又因为平面平面，
所以 平面.
过作于，
连结，由三垂线定理可知.
所以是二面角的平面角.
设，则, .
在中，，所以.
所以 ，.
即二面角的余弦值为.        ………………………………13分
解法二：
因为 ，
所以.
又因为侧面底面，
且侧面底面，
所以 底面.
又因为，
所以，，两两垂直
分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.

设，则，，，，. 
（Ⅰ），，,
所以 ，，所以，.
又因为， 所以平面.  …………………………4分
（Ⅱ）设侧棱的中点是， 则，.
设平面的一个法向量是，则  
因为，，
所以   取，则.
所以，所以.
因为平面，所以平面.   …………………………8分
（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.
由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
所以.
即二面角的余弦值为.       ………………………………13分

解析

略