题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（本小题满分13分）
已知函数
（1）当时，求曲线处的切线方程；
（2）设的两个极值点，的一个零点，且证明：存在实数按照某种顺序排列后构成等差数列，并求．

答案

（1）y="x" - 2
（2）

解析

（本小题满分13分）
（1）解：当a=1,b=2时，
因为f’（x）=（x-1）（3x-5）     …………．．2分
故               ……………．3分
f（2）="0,      "            ……………．4分
所以f（x）在点（2,0）处的切线方程为y="x" - 2     ………．．5分
（2）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－），……………．7分
由于a<b．  故a<．
所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝      ………．．9分
不妨设x1＝a，x2＝，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，
故x3＝b．                                      ……………．10分
又因为－a＝2（b－），
x4＝（a＋）＝，
所以a，，，b依次成等差数列，         
所以存在实数x4满足题意，且x4＝．……………………．13分