题目
题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD,底面为直角梯形,,且AD=2,AB=BC=1,PA=
(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;
(Ⅱ)若二面角B—PC—D的大小为150°,求此四棱锥的体积.
答案
在△PAD中,,且;
又,且,
所以MNBC,即四边形BCMN为平行四边形,.
又平面PAB,平面PAB,故平面PAB. ……5分
(Ⅱ)如图,连结AC,则二面角B—PC—D的大小等于二面角B—PC—A的大小与二面角D—PC—A的大小的和. 由知,又,所以平面PAC,即平面P平面PAC,所以二面角D—PC—A的大小为90°. 于是二面角B—PC—A的大小为60°,过B作于E,过E作于F,连结BF,由三垂线定理知为二面角B—PC—A的平面角. ……9分
在Rt△ABC中,,又易知△PBC为Rt△,且,
∴,解得 ……11分
所以四棱锥P—ABCD的体积为 ……12分
解法二:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,). ……2分
(Ⅱ)由M为PD中点知M的坐标为(0,1,),所以.
又平面PAB的法向量可取为,而,即.
又平面PAB,所以平面PAB. ……6分
(Ⅱ)设平面PBC的法向量为.
∵ ∴
不妨取,则,∴
又设平面PCD的法向量为.
∵ ∴
不妨取,则 ∴. ……9分
由的方向可知,解得. ……11分
所以四棱锥P—ABCD—体积为. ……12分
解析
核心考点
试题【((本小题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD,底面为直角梯形,,且AD=2,AB=BC=1,PA=(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,,且PA=AB=BC=1,AD=2.
(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;
(Ⅱ)求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值.
A. B. C. D.
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的余弦值.
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