题目
题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,,且PA=AB=BC=1,AD=2.
(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;
(Ⅱ)求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值.
答案
(Ⅱ)在平面ABCD中,AB与CD不平行,延长AB、CD交于一点,设为E,连结PE,则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱,又由题设可知侧面PAB,于是过A作于F,连结DF,由三垂线定理可知AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角. ……8分
在△EAD中,由,,知B为AE为中点,∴AE=2,在Rt△PAE中,PA=1,AE=2,∴,故,
即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为 ……12分
解法二:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1). ……2分
(Ⅰ)由M为PD中点知M的坐标为(0,1,1),所以,又平面PAB的法向量可取为 ∴,即. 又平面PAB,所以平面PAB. ……6分
(Ⅱ)设平面PCD的法向量为
∵,∴
不妨取 则 ∴
又平面PAB的法向量为
设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为,
则由的方向可知,,∴
即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为 ……12分
(解法三:因为侧面PAB,侧面PAB,所以也可以考虑用射影面积来求解)
解析
核心考点
试题【如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,,且PA=AB=BC=1,AD=2.(Ⅰ)设M为PD的中点,求证:平面PAB;(Ⅱ)求侧面PA】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. B. C. D.
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的余弦值.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面平面.
(Ⅲ)求凸多面体的体积为
(1)对折后,在线段上是否存在点,使?若存在,求出的长;若不存在,说明理由;
(2)对折后,求二面角的平面角的大小.
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