题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．

（Ⅰ）当时，求证平面
（Ⅱ）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值．

答案

解：（Ⅰ）在平行四边形中，由，，，


易知，…………………2分
又平面，所以平面,
∴，
在直角三角形中，易得，
在直角三角形中，，，
又，∴，
可得
．
∴，……………………6分
又∵，∴平面．………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，
可知为二面角的平面角，
，此时为的中点． ……………9分
过作,连结,则平面平面,
作,则平面,连结,
可得为直线与平面所成的角．
因为,,
所以．……………12分
在中，
直线与平面所成角的正弦值大小为．……………………14分
解法二：依题意易知，平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得……………2分，
（Ⅰ）由有，……………4分
易得，从而平面ACE．……………………7分
(Ⅱ)由平面，二面角的平面角．
又，则 E为的中点，
即 ,………………9分
设平面的法向量为
则，令,得，…………11分
从而，…………13分
直线与平面所成角的正弦值大小为．……………………14分

解析

略