题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分13分）
如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小
（3）求点C到平面PBD的距离.

答案

⑴见解析；（2）；（3）。

解析

试题分析：方法一：⑴证：在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A  ∴BD⊥平面PAC.
解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，
知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=45⁰ . 二面角P—CD—B余弦值为。
（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，设C到面PBD的距离为d，
由，有，即，得
方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴  
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分
解：（2）由（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴ 故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.          ……………………………7分
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得 . ……………………………9分
（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，
则，即，∴x=y=z，故可取为. ………11分
∵，∴C到面PBD的距离为             …………………13分
点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。