题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，平面⊥平面，是直角三角形，，四边形是直角梯形，其中,，，且，是的中点，分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值.

答案

（Ⅰ）取的中点，证明四边形为平行四边形, ∴,则平面（Ⅱ）2

解析

试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接，由为中点,
故又为中点,∴,
∴，故四边形为平行四边形,                             ……3分
∴,则平面.                                         ……4分
(Ⅱ) 连接，则，又，平面⊥平面，
∴⊥面, 故面⊥面,                                   ……6分
过作于，则⊥面,
过作于，连，
则，故为二面角的平面角,                     ……8分
由于为的中点，故===1,
∵，,
由为的中点，故，又为的中点，可知,
从而,又是的中点,∴为的中点∴==,   ……11分
∴==2，∴二面角平面角的正切值为2.          ……12分
点评：证明空间中直线、平面间的位置关系时，要紧扣判定定理和性质定理，定理中要求的条件缺一不可.