题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，， E、F分别为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

答案

（Ⅰ）先证得．
再证得．由，证出平面，所以，平面平面．
（Ⅱ）平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

解析

试题分析：（Ⅰ）∵四边形是菱形，
∴．
在中，，，
∴．
∴，即．
又，   ∴．…………………2分
∵平面，平面，
∴．又∵，
∴平面，………………………………………4分
又∵平面，
平面平面．  ………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，
∴平面平面 ………………………7分
∵平面，∴．
由（Ⅰ）知，又
∴平面，又平面，
∴平面平面．…………………………9分
∴平面是平面与平面的公垂面．
所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……10分
在中，，即．……………11分
又，
∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………14分

理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，
、、、，…………7分
则，，．………8分
由（Ⅰ）知平面，
故平面的一个法向量为．……………………9分
设平面的一个法向量为，
则 ，即，令，
则．    …………………11分
∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……14分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题解法较多二应用向量则简化了证明过程。