题目
题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,底面△ABC为等边三角形,∠APC=90°,PB=AC=2PA=4,O为AC的中点。
(Ⅰ)求证:BO⊥PA;
(Ⅱ)判断在线段AC上是否存在点Q(与点O不重合),使得△PQB为直角三角形?若存在,试找出一个点Q,并求的值;若不存在,说明理由。
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)证明:如图,连结PO,
在等边△ABC中,因为O是AC的中点,且AC=4,
所以BO⊥AC,BO=。
在直角△PAC中,因为O是斜边AC的中点,且AC=4,
所以PO=2,
在△PBO中,由PB=4,得PB2=PO2+BO2,
所以BO⊥PO。 3分
又因为AC∩PO=O,AC平面PAC,PO平面PAC,
所以BO⊥平面PAC, 5分
又因为PA平面PAC,
所以BO⊥PA。 7分
(Ⅱ)答:线段AC上存在点Q,使得△PQB为直角三角形。
具体过程如下:
如图,过P作PM⊥AC于点M,连结BM,
因为BO⊥平面PAC,
所以BO⊥PM。
又因为BO∩AC=O,BO平面ABC,AC平面ABC,
所以PM⊥平面ABC, 10分
所以PM⊥BM,即△PMB为直角三角形。
故当点Q与点M重合时,△PQB为直角三角形。 12分
在直角△PAC中,由∠APC=90°,AC=2PA=4,
得AM=1,(即AQ=1),MC=3(即QC=3),
所以当时,△PQB为直角三角形。 14分
点评:线线垂直与线面垂直之间可以互为条件结论,本题主要利用两者间的互相推出关系证明计算
核心考点
试题【(本小题满分14分)如图,在三棱锥P-ABC中,底面△ABC为等边三角形,∠APC=90°,PB=AC=2PA=4,O为AC的中点。(Ⅰ)求证:BO⊥PA;(Ⅱ】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,斜三棱柱中,侧面底面ABC,侧面是菱形,,E、F分别是、AB的中点.
求证:(1)EF∥平面;
(2)平面CEF⊥平面ABC.
①若,,则;
②若,,则;
③若,,,,则;
④若,,,,则。
其中命题正确的是 .(填序号)
求证:(1);(2).
(1)求四棱锥-的体积;
(2)求证:平面;
(3)试问:在线段上是否存在一点,使得平面平面?若存在,试指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
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