题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证AM//平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大小;
(Ⅲ)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60°.
答案
(2)60º(3)P是AC的中点
解析
试题分析:解法一: (1)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点, ACEF是矩形,∴四边形AOEM是平行四边形,
∴AM∥OE.∵平面BDE, 平面BDE,∴AM∥平面BDE.……4分
(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,∵AB⊥AF, AB⊥AD, ∴AB⊥平面ADF,∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂线定理得BS⊥DF.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.
在RtΔASB中,
∴∴二面角A—DF—B的大小为60º.……8分
(3)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,
∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,,∴PQ⊥平面ABF,平面ABF,∴PQ⊥QF.在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ.
∵ΔPAQ为等腰直角三角形,∴又∵ΔPAF为直角三
角形,∴,∴所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC的中点.……12分
解法二: (1)建立空间直角坐标系.
设,连接NE, 则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),
∴, 又点A、M的坐标分别是,(
∴ =(∴且NE与AM不共线,∴NE∥AM.又∵平面BDE, 平面BDE,∴AM∥平面BDE.
(2)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∴AB⊥平面ADF.
∴为平面DAF的法向量.
∵=(·=0,
∴=(·=0得
,,∴NE为平面BDF的法向量.
∴cos<=∴AB与NE的夹角是60º.即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
(3)设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=(0,, 0)
又∵PF和BC所成的角是60º.∴
解得或(舍去),即点P是AC的中点.
点评:解决的关键是根据线面平行的判定定理,以及空间的法向量来求解二面角的平面角的大小,属于中档题。
核心考点
试题【如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.(Ⅰ)求证AM//平面BDE;(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大小;】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求二面角的余弦值.
现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直,为的中点,如图2.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面;
(3)求点到平面的距离.
图 图
(1)试建立适当的坐标系,并写出点P、B、D的坐标;
(2)问当实数a在什么范围时,BC边上能存在点Q,使得PQ⊥QD?
(3)当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时,求二面角Q-PD-A的大小.
(1)求证:平面ACB1⊥平面BB1C1C;
(2)在A1B1上是否存在一点P,使得DP与平面ACB1平行?证明你的结论.
(Ⅰ)求证://平面;
(Ⅱ)若平面,求平面与平面夹角的余弦值.
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