题目

题型：不详难度：来源：

如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,AD∥BC,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.

(1)求证:BD⊥PC;
(2)求直线AB与平面PDC所成的角;
(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.

答案

（1）见解析  （2）60°  （3）

解析

(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,
∴BD=2,BC=4,
∴DC=2,
则BC²=DB²+DC²,
∴BD⊥DC,
∵PD⊥平面ABCD,
∴BD⊥PD,
而PD∩CD=D,
∴BD⊥平面PDC.
∵PC在平面PDC内,
∴BD⊥PC.
解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.

∵PD⊥平面ABCD,
∴平面PDC⊥平面ABCD,
∴FG⊥平面PDC,
∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,
∴tan∠FDG=,
∴∠FDG=60°.
∴直线AB与平面PDC所成角为60°.
(3)连接EF,

∵DF∥AB,
∴DF∥平面PAB.
∵DE∥平面PAB,
∴平面DEF∥平面PAB,
∴EF∥AB,如图所示,
∵AD=1,BC=4,BF=1,
∴==,
∴=,
即λ=.