题目

题型：不详难度：来源：

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿对角形BD将△BDC折起得到三棱锥C-ABD，且三棱锥的体积为

2 5

15

，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为______．

答案

设三棱锥C-ABD的高为h，则

1

3

（

1

2

×2×1）h=

2 5

15

，∴h=

2

5

，
故 h是直角三角形BCD的斜边BD上的高，故平面BCD⊥平面ABD．作CE⊥BD，AF⊥BD，则
CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD．

AD

•

BC

=1×1cos＜

AD

，

BC

＞=cos＜

AD

，

BC

＞．
又

AD

•

BC

=（

AF

+

FD

）•（

BE

+

EC

）=

AF

•

BE

+

AF

•

EC

+

FD

•

BE

+

FD

•

EC

=0+0+

FD

2+0=BC²-CE²=1-(

2

5

)2=

1

5

，
∴cos＜

AD

，

BC

＞=

1

5

，故异面直线BC与AD所成角的余弦值为

1

5

，
故答案为

1

5

．