题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，已知，∠APB =∠ADB=60°。
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）求PH与平面PAD所成的角的大小

答案

解：（1）证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高，
所以AC⊥PH
又AC⊥BD，
所以AC⊥平面PBD，
又AC平面PAC
所以平面PAC⊥平面PBD。
（2）解：因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，
所以HA=HB=
因为∠APB=∠ADB=60°，
所以PA=PB=，HD=HC=1
所以PH=
所以等腰梯形ABCD的面积为
所以四棱锥P-ABCD的体积为。（3）解：过H作HE⊥AD于E，连接PE，如图，
则PE⊥AD
∴AD⊥平面PEH
又AD平面PAD，
∴平面PEH⊥平面PAD
过H作HG⊥PE于G，则HG⊥平面PAD
∴∠HPG为PH与平面PAD所成的角
∵，DH=1
∴AD=2
∴
又
∴
即
故PH与平面PAD所成的角为。