题目

题型：江苏期末题难度：来源：

在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D为AB中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．

答案

证明：（1）因为∠A₁AC=60°，A₁A=AC=1，
所以△A₁AC为等边三角形，
所以A₁C=1，
因为BC=1，A₁B=，
所以A₁C²+BC²=A₁B²
所以∠A₁CB=90°，即 A₁C⊥BC
因为BC⊥A₁A，BC⊥A₁C，A₁A平面ACC₁A₁，A₁C平面ACC₁A₁，A₁A∩A₁C=A₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，
因为BC平面A₁BC
所以平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁
（2）连接AC₁交A₁C于O，连接OD
因为ACC₁A₁为平行四边形，
所以O为AC₁的中点
因为D为AB的中点，
所以OD∥BC₁
因为OD平面A₁CD，BC₁在平面A₁CD外
所以BC₁∥平面A₁CD．