题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC，
(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；
(Ⅱ)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；
(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

答案

(Ⅰ)证明：∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC，
又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC。
(Ⅱ)解：∵D为PB的中点，DE∥BC，∴，
又由(Ⅰ)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴，
∴在Rt△ADE中，，
∴AD与平面PAC所成的角的大小为。
(Ⅲ)解：∵DE∥BC，又由(Ⅰ)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，∠AEP=90°，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角。