题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=a。
（1）求证：AD⊥B₁D；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求点A₁到平面AB₁D的距离。

答案

解：（1）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴ BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AD
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD
又∵BB₁∩ BD=B，
∴AD⊥平面BB₁D
∴AD⊥B₁D；（2）如图，连接A₁B，交AB₁于E，连接DE，
∵AA₁=AB，四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C
∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D；
（3）连接A₁D，
因为
所以
解得。