题目
题型:宁夏自治区期末题难度:来源:
(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求证:AB1平面A1DC;
(Ⅲ)求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值.
答案
所以AA1⊥AC,AA1⊥AB,
所以AA1⊥平面ABC,三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱.
因为A1D平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1D,
又因为A1B1=A1C1,D为B1C1中点,
所以A1D⊥B1C1.
因为CC1∩B1C1=C1,
所以A1D⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ)证明:连接AC1,交A1C于点O,连接OD,
因为ACC1A1为正方形,
所以O为AC1中点,
又D为B1C1中点,
所以OD为△AB1C1中位线,所以AB1OD,
因为OD平面A1DC,AB1平面A1DC,
所以AB1平面A1DC.
(Ⅲ)解:因为侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,
所以AB,AC,AA1两两互相垂直,
如图所示建立直角坐标系A﹣xyz.设AB=1,则.,设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z),
则有,,x=﹣y=﹣z,
取x=1,得n=(1,﹣1,﹣1).
又因为AB⊥平面ACC1A1,所以平面ACC1A1的法向量为,
,
因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角,
所以,二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为.
核心考点
试题【如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;】;主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
①BC⊥面PAC;
②AF⊥面PCB;
③EF⊥PB;
④AE⊥面PBC.
其中正确命题个数是( )个.
(1)求证:PC⊥AE;
(2)求证:CE∥平面PAB;
(3)求三棱锥P﹣ACE的体积V.
(1)求二面角B﹣PQ﹣C的大小;
(2)证明PQ⊥BC;
(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小.
(1)BC⊥AF;
(2)平面AEF⊥平面PAB;
(3)AB=2,,,求三棱锥P﹣ABC的全面积.
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