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题目
题型:宁夏自治区期末题难度:来源:
如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.
(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)求证:AB1平面A1DC;
(Ⅲ)求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值.
答案
(Ⅰ)证明:因为侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,
所以AA1⊥AC,AA1⊥AB,
所以AA1⊥平面ABC,三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱.
因为A1D平面A1B1C1
所以CC1⊥A1D,
又因为A1B1=A1C1,D为B1C1中点,
所以A1D⊥B1C1
因为CC1∩B1C1=C1
所以A1D⊥平面BB1C1C.
(Ⅱ)证明:连接AC1,交A1C于点O,连接OD,
因为ACC1A1为正方形,
所以O为AC1中点,
又D为B1C1中点,
所以OD为△AB1C1中位线,所以AB1OD,
因为OD平面A1DC,AB1平面A1DC,
所以AB1平面A1DC.
(Ⅲ)解:因为侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,
所以AB,AC,AA1两两互相垂直,
如图所示建立直角坐标系A﹣xyz.设AB=1,则.,设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z),
则有,x=﹣y=﹣z,
取x=1,得n=(1,﹣1,﹣1).
又因为AB⊥平面ACC1A1,所以平面ACC1A1的法向量为

因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角,
所以,二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为

核心考点
试题【如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BB1C1C;】;主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,求证:l⊥γ.
题型:江苏期中题难度:| 查看答案
如图,PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,给出下列结论:
①BC⊥面PAC;
②AF⊥面PCB;
③EF⊥PB;
④AE⊥面PBC.   
其中正确命题个数是(    )个.
题型:江苏月考题难度:| 查看答案
在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)求证:PC⊥AE;
(2)求证:CE∥平面PAB;
(3)求三棱锥P﹣ACE的体积V.
题型:江苏月考题难度:| 查看答案
矩形ABCD中,AB= ,BC=2,Q为AD的中点,将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起,使得AQ、DQ重合,记A、D重合的点为P.
(1)求二面角B﹣PQ﹣C的大小;
(2)证明PQ⊥BC;
(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小.
题型:江苏月考题难度:| 查看答案
如图,AB是圆O的直径,C是圆O上的点,PA垂直于圆O所在平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F求证:
(1)BC⊥AF;
(2)平面AEF⊥平面PAB;
(3)AB=2,,求三棱锥P﹣ABC的全面积.
题型:江苏期末题难度:| 查看答案
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