题目

题型：江苏月考题难度：来源：

在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：PC⊥AE；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．

答案

解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC= ，AC=2．
取PC中点F，连AF，EF，
∵PA=AC=2，
∴PC⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∠ACD=90°，即CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，
∴CD⊥PC，
∴EF⊥PC，
∴PC⊥平面AEF，
∴PC⊥AE．
（2）证明：取AD中点M，连EM，CM．
则 EM∥PA．
∵EM平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．
而∠BAC=60°，
∴MC∥AB．
∵MC平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB．
（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2，
得EF=．
则V=．