题目

题型：0103 模拟题难度：来源：

如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a>0）
（1）求证：AC⊥BF；
（2）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值。

答案

解：（1）如图，在△ABC中，∵AB=1，BC=2，∠ABC=60°，
∴由余弦定理得
=
∴
∴∠BAC=90°，即AC⊥AB
又在矩形ACEF中，AC⊥AF，且AF∩AB=A
∴AC⊥平面ABF，
又∵BF平面ABF，
∴AC⊥BF。
（2）∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，FA⊥AC，
∴FA⊥平面ABCD，
过点A作AG⊥BD于点G，连接FG，则FG⊥BD
∴∠AGF就是二面角F-BD-A的平面角，
∴∠AGF=60°
在△ABD中，由余弦定理得

由
在Rt△AGF中，∵∠AGF=60°
∴AF=AG·tan∠AGF=
即。