题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省期末题

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）当函数f（x）的图象过点（﹣1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若 当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0？

答案

解：（Ⅰ）因为f（﹣1）=0，所以a﹣b+1=0．
因为方程f（x）=0有且只有一个根，所以△=b²﹣4a=0．
所以b²﹣4（b﹣1）=0．即b=2，a=1．
所以f（x）=（x+1）²．
（Ⅱ）因为g（x）=f（x）﹣kx=x²+2x+1﹣kx=x²﹣（k﹣2）x+1 = ．
所以当 或 时，
即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是单调函数．
（Ⅲ）f（x）为偶函数，所以b=0．所以f（x）=ax²+1．
所以 
因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0．
又因为m+n＞0，所以m＞﹣n＞0．所以|m|＞|﹣n|．
此时F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=am²+1﹣an²﹣1=a（m²﹣n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．