题目

题型：哈尔滨模拟难度：来源：

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求几何体D-ABC的体积．

答案

（Ⅰ）
【解法一】：在图1中，由题意知，AC=BC=2

2

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD
【解法二】：在图1中，由题意，得AC=BC=2

2

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂面ABC，∴BC⊥平面ACD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC为三棱锥B-ACD的高，且BC=2

2

，S_△ACD=

1

2

×2×2=2，
所以三棱锥B-ACD的体积为：VB-ACD=

1

3

Sh=

1

3

×2×2

2

=

4 2

3

，
由等积性知几何体D-ABC的体积为：

4 2

3

．