题目
题型:不详难度:来源:
(I)在侧棱上是否存在一个点P,使得直线与平面所成角的正切值为
;(Ⅱ)若P是侧棱上一动点,在线段上是否存在一个定点,使得在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.
答案
解析
设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点G,,
连结OG,因为PC∥平面,平面∩平面APC=OG,故OG∥PC,§
K所以,OG=PC=.又AO⊥BD,AO⊥BB1,所以AO⊥平面,故∠AGO是AP与平面所成的角.
在Rt△AOG中,tanAGO=,
即m=.所以,当PC=时,
直线AP与平面所成的角的正切值为. …………………6分
(Ⅱ)可以推测,点Q应当是A1C1的中点O1,因为D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ,所以 D1O1⊥平面ACC1A1,又AP平面ACC1A1,故 D1O1⊥AP.那么根据三垂线定理知,D1O1在平面APD1的射影与AP垂直. …………………12分
解法二:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),
B1(1,1,1),D1(0,0,1)
所以
又由知,为平面的一个法向量.
设AP与平面所成的角为,
则。
依题意有解得.
故当时,直线AP与平面所成的角的正切值为. ………6分
(Ⅱ)若在A1C1上存在这样的点Q,设此点的横坐标为,
则Q(x,1-,1),。
依题意,要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,
等价于D1Q⊥AP
即Q为A1C1的中点时,满足题设要求. …………………12分
核心考点
试题【(12分)如图,在棱长为1的正方体中,(I)在侧棱上是否存在一个点P,使得直线与平面所成角的正切值为;(Ⅱ)若P是侧棱上一动点,在线段上是否存在一个定点,使得在】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ) 求证:四边形是矩形;
(Ⅱ) 求二面角的大小;
(Ⅲ) 求四面体的体积.
分别为线段的中点, ⊥平面.
(1) 求证: ∥平面;
(2) 求证:平面⊥平面;
(3) 若, 求三棱锥的
体积.
角BDA=60°, 角BCD=135°求BC的长.
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