题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的结论;
(Ⅱ)求点C到平面PDB的距离;
(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
答案
解析
连结AC,由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC ………3分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE ………………5分
解:(Ⅱ)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC="2. " ………………7分
设点C到平面PDB的距离为d,
,
, ,
---------------------------10分
(Ⅲ) 解法1:在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴≌
∴ED="EB," ∵AD="AB " ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴为二面角D-EA-B的平面角……………… 12分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rt△ADE中,=="BG"
在△DGB中,由余弦定理得
∴= ………………15分
解法2:以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
则,从而……………… 11分
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
由法向量的性质可得:,
令,则,
∴ ………13分
设二面角D-AE-B的平面角为,则
∴ ………………………………… 15分
核心考点
试题【已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为1的正方形,侧棱PC长为2,且PC⊥底面ABCD,E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求与平面所成角的余弦值.
(1)证明:平面;
(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小;
(3)求二面角的大小.
(1)求证:PC⊥BD;
(2)求证:AF//平面PEC;
(3)求二面角P—EC—D的大小.
直线与平面所成的角为,垂直于
,为的中点.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求平面与平面所成的二面角;
(3)求点到平面的距离.
(Ⅰ)证明:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)设,
求k的值.
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