题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点.
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF//平面PEC；
（3）求二面角P—EC—D的大小.

答案

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

解析

证明：（1）连结AC，则AC⊥BD。
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂线定理得PC⊥BD。………………4分
（2）取PC的中点K，连结FK、EK，则四边形AEKF是平行四边形。
∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC。…………4分
（3）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，
连结PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。
∴∠PHA为所求二面角P—EC—D的平面角。………………10分
∵E为AB的中点，AE//CD，∴AM=AD=2，
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得


………………14分