题目
题型:不详难度:来源:
ABD和BCD均为等边三角形,AB=2,AC=。
(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A—BC—D的大小;
(3)求O点到平面ACD的距离。
答案
(Ⅰ)证明见解析。 (Ⅱ) arctan2(Ⅲ)
解析
法一:(1)证明:连结OC,∵ABD为等边三角形,O为BD的中点,∴AO垂直BD。(1分)∴ AO=CO=。……(2分)在AOC中,AC=,∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=900,即AO⊥OC。∴BDOC=O,∴AO⊥平面BCD。……(3分)
(2)过O作OE垂直BC于E,连结AE,∵AO⊥平面BCD,∴AE在平面BCD上的射影为OE。
∴AE⊥BC。∠AEO为二面角A—BC—D的平面角。……(7分)
在RtAEO中,AO=,OE=,∠,∴∠AEO=arctan2。
二面角A—BC—D的大小为arctan2。
(3)设点O到面ACD的距离为∵VO-ACD=VA-OCD,∴。
在ACD中,AD=CD=2,AC=,。
解法二:(1)同解法一。
(2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0)
∵AO⊥平面DCD, ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…(5分)
由。设与夹角为,
则。∴二面角A—BC—D的大小为arccos。………(8分)
(3)解:设平面ACD的法向量为又
。……(11分)
设与夹角为,则设O到平面ACD的距离为,
∵,∴O到平面ACD的距离为。(13分)
核心考点
试题【(本小题满分13分)如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,ABD和BCD均为等边三角形,AB=2,AC=。(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A—BC】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当的长为何值时,
二面角的大小为?
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,,为的中点,求三棱锥的体积.
(Ⅰ)证明:直线∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值
(Ⅰ)求四棱锥的体积;
(Ⅱ) 求二面角的大小.
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