题目

题型：不详难度：来源：

(本小题12分) 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形, PA⊥底面ABCD, PA＝2,
∠PDA="45°," 点E、F分别为棱AB、PD的中点.

（1）求证: AF∥平面PCE;
（2）求证: 平面PCE⊥平面PCD;
（3）求AF与平面PCB所成的角的大小.

答案

（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）30°

解析

证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线 ∴FGCD
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴ABCD    ∴FGAE∴四边形AEGF是平行四边形∴AF∥EG  
又EG平面PCE，AF平面PCE∴AF∥平面PCE  
（2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A
∴CD⊥平面ADP，又AF平面ADP        ∴CD⊥AF
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形  ∴PA＝AD="2 "
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD   ∵AF∥EG　　∴EG⊥平面PCD
又EG平面PCE平面PCE⊥平面PCD
（3）过E作EQ⊥PB于Q点, 连QG, CB⊥面PAB
∴QE⊥面PCB, 则∠QGE为所求的角.
S_△PEB=BE·PA=PB·EQEQ=
在△PEC中, PE＝EC＝, G为PC的中点, ∴EG＝,
在Rt△EGQ中, sin∠EGQ=
∴∠EGQ=30°