题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明: BC⊥PQ;
(2)设点C在平面内的射影为点O, 当k取何值时, O在平面ABC内的射影G恰好为△ABC的重心?
(3)当时, 求二面角B-AC-P的大小.
答案
(2)k=1
(3)
解析
, 即点C在平面内的射影为点E,
所以.
又.
, 故 BE⊥PQ, 又
, ,
平面EBC, 故BC⊥PQ.
(2)由(1)知, O点即为E点, 设点F是O在平面ABC内的射影, 连 接BF并延长交AC于点D, 由题意可知, 若F是△ABC的重心, 则点D为AC的中点.
, 平面角为直二面角, , 由三垂线定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k=1;反之, 当k=1时, 三棱锥O—ABC为正三棱锥, 此时, 点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心.
(3)由(2)知, 可以O为原点, 以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz(如图所示)
不妨设, 在Rt△OAB中, ∠ABO=∠BAO=45°, 所以BO=AO=, 由CA=CB=kAB且得, AC=2, , 则.
所以
设是平面ABC的一个法向量, 由得
取x="1," 得
易知是平面的一个法向量,
设二面角B-AC-P的平面角为, 所以, 由图可知,
二面角B-AC-P的大小为.
核心考点
试题【 (本小题13分) 如图所示, PQ为平面的交线, 已知二面角为直二面角, , ∠BAP=45°. (1)证明: BC⊥PQ; (2)设点C在平面内的射影为点】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:PD⊥面ABCD;
(2)求二面角A-PB-D的大小
平行 垂直 相交 异面
两条平行直线 两条相互垂直的直线
一条直线及其外一点 同一条直线
(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值。
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