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题目
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(本小题13分) 如图所示, PQ为平面的交线, 已知二面角为直二面角,  , ∠BAP=45°.

(1)证明: BCPQ;
(2)设点C在平面内的射影为点O, 当k取何值时, O在平面ABC内的射影G恰好为△ABC的重心?
(3)当时, 求二面角BACP的大小.
答案
(1)证明见解析
(2)k=1
(3)
解析
(1)在平面内过点CCEPQ于点E, 由题知点E与点A不重合, 连接EB.

, 即点C在平面内的射影为点E,
所以.
.
, 故 BEPQ, 又
, ,
平面EBC, 故BCPQ.
(2)由(1)知, O点即为E点, 设点FO在平面ABC内的射影, 连 接BF并延长交AC于点D, 由题意可知, 若F是△ABC的重心, 则点DAC的中点.
, 平面角为直二面角, , 由三垂线定理可知ACBF, 即ACBD, , 即k=1;反之, 当k=1时, 三棱锥OABC为正三棱锥, 此时, 点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心.
(3)由(2)知, 可以O为原点, 以OBOAOC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示) 

不妨设, 在RtOAB中, ∠ABO=∠BAO=45°, 所以BOAO, 由CACBkAB得, AC=2, , 则.
所以
是平面ABC的一个法向量, 由
x="1," 得
易知是平面的一个法向量,
设二面角BACP的平面角为, 所以, 由图可知,
二面角BACP的大小为.
核心考点
试题【 (本小题13分) 如图所示, PQ为平面的交线, 已知二面角为直二面角,  , ∠BAP=45°. (1)证明: BC⊥PQ; (2)设点C在平面内的射影为点】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形,PDBC,PD=1,PC=.

(1)求证:PD⊥面ABCD
(2)求二面角A-PB-D的大小
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教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面上总有直线与直尺所在直线
平行            垂直           相交           异面
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不垂直的两条异面直线m、n在同一个平面上的射影不可能是
两条平行直线                   两条相互垂直的直线
一条直线及其外一点             同一条直线
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直三棱柱A1B1C1ABC中,已知AA1 = 2,AB = AC = 1,且ACAB,则此直三棱柱的外接球的体积等于           
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(本小题满分12分)



 
棱长为1的正方体中,P为DD1中点,O1、O2、O3分别为面、面、面的中心。(1)求证:
(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值。
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