题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)设.
(ⅰ) 若直线与平面所成的角为,求线段的长;
(ⅱ) 在线段上是否存在一个点,使得点到点的距离都相等?说明理由.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)先证明线面垂直平面,再证明面面垂直平面⊥平面;(Ⅱ)先建立直角坐标系,设平面的法向量为,利用两向量垂直,,列表达式,求出法向量,再由直线与平面所成的角为,得出法向量中的参量;先设存在点,找出的坐标,利用距离相等,列出表达式,看方程是否有根来判断是否存在点.
试题解析:解法一:
(Ⅰ)证明:因为平面,平面,
所以,又,,
所以平面,又平面,
所以平面⊥平面. 3分
(Ⅱ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系 (如图).
在平面内,作交于点,则.
在中,,
.
设,则,.
由得,
所以,,,
,. 5分
(ⅰ)设平面的法向量为.
由,,得
取,得平面的一个法向量.
又,故由直线与平面所成的角为得
,即.
解得或 (舍去,因为),所以. 7分
(ⅱ)假设在线段上存在一个点,使得点到点的距离都相等.
设 (其中).
则,,
.
由,得,
即;①
由,得. ②
由①、②消去,化简得. ③
由于方程③没有实数根,所以在线段上不存在一个点,使得点到点的距离都相等.
从而,在线段上不存在一个点,
使得点到点的距离都相等. 12分
解法二:
(Ⅰ)同解法一:
(Ⅱ)(ⅰ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系 (如图).
在平面内,作交于点,
则,
在中,
,
.
设,则,.
由得.
所以,,,
,. 5分
设平面的法向量为.
由,,得
取,得平面的一个法向量.
又,故由直线与平面所成的角为得
,即.
解得或 (舍去,因为),所以. 7分
(ⅱ)假设在线段上存在一个点,使得点到点的距离都相等.
由 ,得,
从而,即,
所以.
设,则,.
在中,
,这与矛盾.
所以在线段上不存在一个点,使得点到的距离都相等.
从而,在线段上不存在一个点,使得点到点的距离都相等
核心考点
试题【如图,四棱锥中,底面,四边形中,,,,.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)设.(ⅰ) 若直线与平面所成的角为,求线段的长;(ⅱ) 在线段上是否存在一个点,使得点到点的】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)证明:平面⊥平面;
(Ⅱ)若,求三棱锥的表面积.
(Ⅰ)判断直线EF与A¢D的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)求二面角F-A¢B-D的大小.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)若与所成的角为,求二面角的余弦值.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求三棱锥的高
(Ⅰ)求四面体的体积;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)证明:平面平面.
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