题目

题型：不详难度：来源：

如图，四边形是正方形，，，， ．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若与所成的角为，求二面角的余弦值．

答案

①见解析②

解析

试题分析：（I）要证面面垂直,只要证明线面垂直,只要证明线线垂直:即找到直线（II）由于选取 为坐标原点建立空间直角坐标系,由于底面直角梯形只有上下底边的关系,直角腰边长 需要用 成 角这个等式确定的,进一步计算出多面体顶点坐标,利用空间向量计算出两个平面的法向量,再求二面角的余弦值.
试题解析：（I）平面，且平面，
，
又是正方形，，而梯形中与相交，
平面，
又平面，
平面平面             4分

（II）平面，则，，
又，，，
以点为原点，依次为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，.
则，，，
，　  ．6分
，，　
由与所成的角为，
得
解得．    ．8分
 ，，
求得平面的一个法向量是
；    ．．9分
，，
求得平面的一个法向量是；    ．．10分
则，    ．．11分
故二面角的余弦值为     ．12分
（其他做法参照给分）