题目

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥中，平面，平面，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

答案

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)

解析

试题分析：(Ⅰ)根据两个平面垂直的条件，在平面内找到一条垂直于平面的直线即可，取的中点，可证明平面；(Ⅱ) 二面角与二面角相等，二面角的平面角为，求出即可.（解法2采用的是向量的方法，求出平面、的法向量，即可证明平面平面；求出平面、的法向量，即可求出二面角.）
(Ⅰ)证明：取的中点，的中点，连，，，则 

平面，平面，∴，
是平行四边形，.
，，又平面.
平面.平面.
从而平面平面.                                6分
(Ⅱ)二面角与二面角相等，
由(Ⅰ)知二面角的平面角为.
，，
得，，
为正方形，，
∴二面角的大小为．                            12分
解法2：取的中点，连.
，，又平面.
以为原点建立如图空间直角坐标系，

则由已知条件有: ，，
设平面的法向量为，
则由
及
可取 
又平面，，平面，
∴平面的法向量可取为.
， ∴，∴平面平面.          6分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
则由
及
可取
∵平面的法向量可取为，
∴锐二面角的余弦值为，
∴二面角的大小为．                                12分.