题目

题型：不详难度：来源：

求曲线y=

x

（0≤x≤4）上的一条切线，使此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=

x

所围成的平面图形的面积最小．

答案

设（x₀，y₀）为曲线y=

x

（0≤x≤4）上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y-y0=

1

2 x0

(x-x0)即y=

y0

2

+

x

2 x0

．
得其与x=0，x=4的交点分别为(0，

y0

2

)，(4，

y0

2

+

2

y0

)
于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=

x

所围的平面图形面积为：S=

∫

40

(

y0

2

+

x

2 x0

-

x

)dx=2y0+

4

x0

-

16

3

=2

x0

+

4

x0

-

16

3

应用均值不等式求得x₀=2时，S取得最小值．
即所求切线即为：y=

x

2 2

+

2

2

．