题目
题型:广东省模拟题难度:来源:
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)当a=-1时,求函数y=f(x)在[0,4]上的最大值和最小值;
(3)当函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点时,求实数a的取值范围.
答案
解:(1)当a=0时,,∴f(3)=1,
∵,曲线在点(3,1)处的切线的斜率,
∴所求的切线方程为y-1=3(x-3),即y=3x-8。
(2)当a=-1时,函数,
∵,令f′(x)=0得,,
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,即函数y=f(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,4)时,f′(x)>0,即函数y=f(x)在(1,4)上单调递增,
∴函数y=f(x)在[0,4]上有最小值,;
又,
∴当a=-1时,函数y=f(x)在[0,4]上的最大值和最小值分别为。
(3)∵,
∴,
①当时,3a=a+2,解得a=1,这时,
函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点,故a=1为所求;
②当时,即,这时,
又函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点,
∴;
③当时,即a<1,这时,
又函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点,
∴,
综上得当函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点时,或或a=1。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-(2a+1)x2+3a(a+2)x+1,a∈R。(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)当a=-1】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)的单调区间与最值;
(2)若方程2xlnx+mx-x3=0在区间[,e]内有两个不相等的实根,求实数m的取值范围;(其中e为自然对数的底数)
(3)如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:g′(px1+qx2)<0(其中,g′(x)是g(x)的导函数,正常数p,q满足p+q=1,q>p)
(Ⅰ)当a=-l时,求f(x)在[e,e2](e=2.718 28…)上的值域;
(Ⅱ)若f(x)≤e-l对任意x∈[e,e2] 恒成立,求实数a的取值范围。
(Ⅰ)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(Ⅱ)是否存在实数x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)当λ1=1,λ2=0时,设x1,x2是f(x)的两个极值点,
①如果x1<1<x2<2,求证:f′(-1)>3;
②如果a≥2,且x2-x1=2且x∈(x1,x2)时,函数g(x)=f′(x)+2(x-x2)的最小值为h(a),求h(a)的最大值;
(Ⅱ)当λ1=0,λ2=1时,
①求函数y=f(x)-3(ln3+1)x的最小值;
②对于任意的实数a,b,c,当a+b+c=3时,求证:3a·a+3b·b+3c·c≥9。
(Ⅰ)将y表示成x的函数;
(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.
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