题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知函数f（x）=x+alnx，其中a为常数，且a≤-l，
(Ⅰ)当a=-l时，求f(x)在[e，e²]（e=2.718 28…）上的值域；
(Ⅱ)若f(x)≤e-l对任意x∈[e，e²] 恒成立，求实数a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)当a=-l时，f（x）=x-Inx，
得，
令，即，解得：x＞1，
所以函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
据此，函数f（x）在[e，e²]上为增函数，
而f(e)=e-1，f（e²）=e²-2，
所以，函数f(x)在[e，e²]上的值域为[e-1，e²-2]；
（Ⅱ）由，令，得，即x=-a，
当x∈（0，-a）时，f′(x)＜0，函数f（x）在（0，-a）上单调递减；
当x∈（-a，十∞）时，f′(x)＞0，函数f(x)在（-a，+∞）上单调递增；
若1≤-a≤e，即-e≤a≤-1，易得函数f(x)在[e，e²]上为增函数，
此时，f(x)_max=f(e²)，要使f（x）≤e-1对x∈[e，e²]恒成立，
只需 f(e²)≤e-1即可，
所以，有，即；
而，
即，所以，此时无解；
若e＜-a＜e²，即-e＞a＞-e²，易知函数f(x)在[e，-a]上为减函数，在[-a，e²]上为增函数，
要使f(x)≤e-l对x∈[e，e²]恒成立，
只需，即，
由和，
得；
若-a≥e²，即a≤-e²，易得函数f(x)在[e，e²]上为减函数，
此时，f(x)_max=f（e），
要使f(x)≤e-1对x∈[e，e²] 恒成立，
只需 f(e)≤e-l即可，所以有e+a≤e-1，即a≤-1，
又因为a≤-e²，所以a≤-e²；
综合上述，实数a的取值范围是。