题目

题型：湖南省模拟题难度：来源：

两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外，以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，
(Ⅰ)将y表示成x的函数；
(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

答案

解：(Ⅰ)如图，由题意知，AC⊥BC，BC²=400-x²， 
，
其中当时，y=0.065，所以，k=9，
所以，y表示成x的函数为。
 (Ⅱ)，
 ，
令y′=0得，所以，，即x=，
当0＜x＜时，，即y′＜0，所以，此时函数为单调减函数；
当＜x＜20时，，即y′＞0，所以，此时函数为单调增函数，
所以，当x=时，即当C点到城A的距离为时，
函数有最小值。