题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=2lnx-x²（x＞0）。
（1）求函数f(x)的单调区间与最值；
（2）若方程2xlnx+mx-x³=0在区间[，e]内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；（其中e为自然对数的底数）
（3）如果函数g(x)=f(x)-ax的图像与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求证：g′(px₁+qx₂)＜0（其中，g′(x)是g(x)的导函数，正常数p，q满足p+q=1，q＞p）

答案

解：（1）∵，x＞0，
∴当0＜x＜1时，，f(x)单调递增；
当x＞1时，，f(x)单调递减；
∴当x=1时，f(x)有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值；
故f(x)的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；最大值为-1，但无最小值。
（2）方程化为，
由（1）知，f(x)在区间上的最大值为-1，
，
∴f(x)在区间上的最小值为，
故在区间上有两个不等实根需满足，
∴，∴实数m的取值范围为。
（3）∵，又f(x)-ax=0有两个实根，
∴，
两式相减，得，
∴，
于是
=，
，
要证：，只需证：，
只需证：， (＊)
令，
∴(＊)化为，
只证即可，
 
==
∴t-1＜0，
∴，∴在（0，1）上单调递增，∴，
∴，∴，
即：，
∴。