题目
题型:不详难度:来源:
(1)若当时,函数的最大值为,求的值;
(2)设(为函数的导函数),若函数在上是单调函数,求的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)求出导数方程的根,并以是否在区间内进行分类讨论,确定函数单调性,从而确定函数在区间上的最大值,从而求出实数的值;(2)解法一是分两种情况讨论,一种是函数是增函数,二是函数是减函数,从而得到或在上恒成立,最终转化为或来处理,从而求出实数的取值范围;解法二是分两种情况讨论,一种是函数是增函数,二是函数是减函数,从而得到或在上恒成立,利用,对二次函数的首项系数与的符号进行分类讨论,从而求出实数的取值范围.
(1)由,
可得函数在上单调递增,在上单调递减,
当时,取最大值,
①当,即时,函数在上单调递减,
,解得;
②当,即时,,
解得,与矛盾,不合舍去;
③当,即时,函数在上单调递增,
,解得,与矛盾,不合舍去;
综上得;
(2)解法一:,
,
显然,对于,不可能恒成立,
函数在上不是单调递增函数,
若函数在上是单调递减函数,则对于恒成立,
,解得,
综上得若函数在上是单调函数,则;
解法二:,
,
令,()
方程()的根判别式,
当,即时,在上恒有,
即当时,函数在上是单调递减;
当,即时,方程()有两个不相等的实数根:
,,
,
当时,,当或时,,
即函数在单调递增,在或上单调递减,
函数在上不单调,
综上得若函数在上是单调函数,则.
核心考点
举一反三
(1)讨论的单调性;
(2) 若不等式恒成立,求实数取值范围;
(3)若方程存在两个异号实根,,求证:
(1)若的极大值为,求实数的值;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数f(x)满足:在定义域内存在实数x0,使f(x0+k)= f(x0)+ f(k)(k为常数),则称“f(x)关于k可线性分解”. 设,若关于实数a 可线性分解,求取值范围.
(1)求函数的最小值;
(2)若,证明:当时,.
(1)当时,证明:;
(2)若,求k的取值范围.
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