题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知函数f(x)=ax²-(2a+1)x+2lnx(a∈R)，
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)=x²-2x，若对任意x₁∈(0，2]，均存在x₂∈(0，2]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范围。

答案

解：，
(1)由题意知f′(1)=f′(3)，解得；
(2)，
①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，在区间(0，2)上，f′(x)＞0；在区间(2，+∞)上，f′(x)＜0，
故f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，+∞)；
②当时，，在区间(0，2)和上，f′(x)＞0；在区间上，f′(x)＜0，
故f(x)的单调递增区间是(0，2)和，单调递减区间是；
③当时，，
故f(x)的单调递增区间是(0，+∞)；
④当时，，在区间和(2，+∞)上，f′(x)＞0；在区间上，f′(x)＜0，
故f(x)的单调递增区间是和(2，+∞)，单调递减区间是。
(3)由题意知，在(0，2]上有f(x)_max＜g(x)_max，
在(0，2]上，易得g(x)_max=0，
由(2)可知，
①当时，f(x)在(0，2]上单调递增，
故f(x)_max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，
故ln2-1＜；
②当时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
故，
由可知，所以2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f(x)_max＜0，故；
综上所述，a＞ln2-1．