题目
题型:辽宁省模拟题难度:来源:
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|≤x≤2}且M∩P≠,求实数a的取值范围;
(3)已知n∈N*,且,是否存在等差数列{an} 和首项为f(1),公比大于0的等比数列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=Sn?若存在,请求出数列{an}、{bn}的通项公式;若不存在,请说明理由。
答案
由f"(x)=0,得x=0
当x>0时,f"(x)>0;
当x<0时,f"(x)<0
∴f(x)在(0,+∞)上递增,在(-∞,0)上递减
∴f(x)min=f(0)=1。
(2)∵M∩P≠,
∴f(x)>ax在区间上有解,
由f(x)>ax,得ex-x>ax即在上有解
令
则
∴g(x)在上递减,在[1,2]上递增
又
且
∴
∴。
(3)假设存在公差为d的等差数列{an}和公比q>0,首项为f(1)的等比数列{bn},使a1+a2+…+an+b1+b2+…+ bn=Sn
∵
b1=f(1)=e-1,
∴a1+b1=S1即
∴
又n≥2时
故n=2,3时有
②-①×2得q2-2q=e2-2e,解得q=e或q=2-e(舍),
故q=e,d=-1,
此时
且
∴存在这样的数列{an}、{bn}满足题意。
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的 底数)。(1)求f(x)的最小值;(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|≤x≤2}且M∩P≠,求实】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若对任意的x∈(0,1),f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)求证:e-x+sinx<1+(0<x<1)。
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a)。
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