题目

题型：陕西省月考题难度：来源：

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

答案

解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx²，
若记商品在一个星期的获利为f（x）， 则依题意有
f（x）=（30﹣x﹣9）（432+kx²）=（21﹣x）（432+kx²），
又由已知条件，24=k●2²，于是有k=6，
所以f（x）=﹣6x³+126x²﹣432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f "（x）=﹣18x²+252x﹣432=﹣18（x﹣2）（x﹣12）．

∴当x=12时，f（x）达到极大值．因为f（0）=9072，f（12）=11264，
所以定价为30﹣12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．