已知某长方体的棱长之和为14.8m，长方体底面的一边比另一边长0.5m，问高为多少时长方体体积最大？并求出最大体积是多少？ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知某长方体的棱长之和为14.8m，长方体底面的一边比另一边长0.5m，问高为多少时长方体体积最大？并求出最大体积是多少？

答案

解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，
高为

=3.2﹣2x
由3.2﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，
设容器的容积为ym³，则有y=x（x+0.5）（3.2﹣2x）（0＜x＜1.6）
整理，得y=﹣2x³+2.2x²+1.6x，
所以y"=﹣6x²+4.4x+1.6
令y"=0，有﹣6x²+4.4x+1.6=0，即15x2﹣11x﹣4=0
解得x₁=1，x₂=﹣

（不合题意，舍去）．
从而，在定义域（0，1.6）内只有在x=1处使y"=0．
因此，当x=1时y取得极大值，也是最大值，
y_最大值=﹣2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2﹣2×1=1.2．
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m³

核心考点

试题【已知某长方体的棱长之和为14.8m，长方体底面的一边比另一边长0.5m，问高为多少时长方体体积最大？并求出最大体积是多少？】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.
(Ⅰ) 当a=-1时，求f（x）的最大值；
(Ⅱ) 若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；
（Ⅲ）当a=-1 时，试推断方

是否有实数解.

题型：河北省模拟题难度：| 查看答案

已知函数

的极大值点为x=﹣1．
（1）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为

，求a的值；
（3）设A（﹣1，f（﹣1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x₀∈（﹣1，2），使f"（x₀）=k．

题型：四川省月考题难度：| 查看答案

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=

，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

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已知f（x）=2x³﹣6x²+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是 [     ]
A．﹣37
B．﹣29
C．﹣5
D．以上都不对

题型：广东省模拟题难度：| 查看答案

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

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