题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=xlnmx（m＞0），g（x）=﹣x²+2ax﹣3，且f（x）在x=e处的切线方程为2x﹣y﹣e=0，
①求m的值．
②若y=af（x），y=g（x）在区间[1，3]上的单调性相同，求实数a的取值范围．
③求证：对任意的x∈（0，+∞），都有．

答案

①解：f"（x）=lnmx+1，所以
切线斜率为k=lnem+1=2 
所以m=1 
②解：若a＞0 则当x∈[1，3]，f"（x）＞0，
∴f（x）单调递增，
故g（x）在[1，3]上单调递增，从而对称轴x=a≥3，
综合有a≥3 
若a＜0，则当x∈[1，3]，f"（x）＜0，
∴f（x）单调递减，
故g（x） 在[1，3]上单调递减，从而对称轴x=a≤1
综合有：a＜0
若a=0，f（x） 不是单调函数，不符合题意．
综上所述：a 的取值范围是a≥3 或者a＜0 
③（i）当x∈（0，），f"（x）＜0，函数单调递增，
（ii ）当，f"（x）＞0，函数单调递增
所以当 时，f（x） 取最小值，
令，则
所以当x∈（0，1），h"（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），h"（x）＜0，h（x）单调递减
则当x=1 时，h（x） 取最大值，
因此，但等号不能同时成立．
故