题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=﹣2时，．
当x变化时，f"（x）和f（x）的值的变化情况如下表：

（2）由，得．
又函数为[1，+∞）上单调函数，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，
则g"（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式在[1，+∞）上恒成立．
也即在[1，+∞）上恒成立，
而φ（x）=在[1，+∞）上的最大值为φ（0）=0，所以a≥0．
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，
根据①，在[1，+∞）上φ（x）_max=φ（1）=0，φ（x）没有最小值．
所以g"（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．
综上，a的取值范围为[0，+∞）．