题目
题型:高考真题难度:来源:
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明。
答案
对于任意的x∈(0,),有sinx+xcosx>0,
当a=0时,f(x)=-,不合题意;
当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,
从而f(x)在(0,)单调递减,
又函数在上图象是连续不断的,
故函数在上上的最大值为f(0)=-,不合题意;
当a>0时,x∈(0,),f′(x)>0,从而f(x)在(0,)单调递增,
又函数在上图象是连续不断的,
故函数在上的最大值为f()==,
解得a=1,综上所述,得。
(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点
证明如下:由(1)知,,
从而有f(0)=-<0,f()=>0,
又函数在上图象是连续不断的,
所以函数f(x)在(0,)内至少存在一个零点,
又由(1)知f(x)在(0,)单调递增,
故函数f(x)在(0,)内仅有一个零点.
当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx,
由g()=1>0,g(π)=-π<0,
且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的,故存在m∈(,π),使得g(m)=0.
由g′(x)=2cosx-xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0,
从而g(x)在[,π]上单调递减.
当x∈(,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0,
从而f(x)在(,m)内单调递增
故当x∈(,m)时,f(x)>f()=>0,
从而(x)在(,m)内无零点;
当x∈(m,π)时,有g(x)<g(m)=0,
即f′(x)<0,
从而f(x)在(,m)内单调递减
又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的,
从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。
综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。
核心考点
举一反三
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的最大值;
(3)证明:f(x)<。
(1)写出年利润W(万元)关于年出品x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公式在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任意x1∈(0,2),总存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)求证:n>m;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>﹣2,总存x0∈(﹣2,t),满足,并确定这样的x0的个数.
(1)若,求g(x)在[0,2]上的最大值与最小值;
(2)当x>0时,求证;
(3)当n∈N+且n≥2时,求证:.
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