题目
题型:模拟题难度:来源:
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)求证:n>m;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>﹣2,总存x0∈(﹣2,t),满足,并确定这样的x0的个数.
答案
由f′(x)>0x>1或x<0,
由f′(x)<00<x<1,
∴函数f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
∵函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数,
∴﹣2<t≤0,
(Ⅱ)证:因为函数f(x)在(﹣∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,
在(0,1)上单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极小值e,
又f(﹣2)=13e﹣2<e,
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(﹣2),
从而当t>﹣2时,f(﹣2)<f(t),即m<n,
(Ⅲ)证:因为 ,
∴ ,即为x02﹣x0= ,
令g(x)=x2﹣x﹣ ,
从而问题转化为证明方程g(x)= =0在(﹣2,t)上有解并讨论解的个数,因为g(﹣2)=6﹣ (t﹣1)2=﹣ ,
g(t)=t(t﹣1)﹣ = ,
所以当t>4或﹣2<t<1时,g(﹣2)·g(t)<0,
所以g(x)=0在(﹣2,t)上有解,且只有一解,
当1<t<4时,g(﹣2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=﹣ <0,所以g(x)=0在(﹣2,t)上有解,且有两解,
当t=1时,g(x)=x2﹣x=0,解得x=0或1,
所以g(x)=0在(﹣2,t)上有且只有一解,
当t=4时,g(x)=x2﹣x﹣6=0,所以g(x)=0在(﹣2,t)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),满足 ,
且当t≥4或﹣2<t≤1时,有唯一的x0适合题意,
当1<t<4时,有两个x0适合题意.
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x2﹣3x+3)·ex定义域为[﹣2,t](t>﹣2),设f(﹣2)=m,f(t)=n.(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若,求g(x)在[0,2]上的最大值与最小值;
(2)当x>0时,求证;
(3)当n∈N+且n≥2时,求证:.
(1)若关于x的方程x2﹣tx﹣3=0的两实数为a,b(a<b),试判断函数f(x)在区间(a,b)上的单调性,并说明理由;
(2)若函数f(x)的图象在x=﹣1处的切线斜率为,求当x>0时,f(x)的最大值.
(1)设∠COD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形CMDC的面积S弓=f(θ);
(2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?并求相对应的θ.(参考公式:扇形面积公式,l表示扇形的弧长)
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数a,使得当x∈[﹣e,0)时,f(x)的最小值是4?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[﹣2,t]上为单调函数;
(2)试判断m,n的大小并说明理由;
(3)求证:对于任意的t>﹣2,总存在x0∈(﹣2,t),满足=,并确定这样的x0的个数.
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