题目

题型：同步题难度：来源：

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²﹣2bx+4．当时，若对任意x_1^∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使
f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．

答案

解：
（Ⅰ） ， 
令h（x）=ax²﹣x+1﹣a（x＞0）
（1）当a=0时，h（x）=﹣x+1（x＞0），
当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（2）当a≠0时，由f′（x）=0，
即ax²﹣x+1﹣a=0，解得 ．
当 时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；
当 时， ，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
  时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
  时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当a＜0时 ，
当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增；
当 时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
当 时，函数f（x）在（0，1）单调递减， 单调递增， 单调递减．
（Ⅱ）当 时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，
所以对任意x₁∈（0，2），有 ，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以 ，x₂∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x﹣b）²+4﹣b²，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）_min=g（1）=5﹣2b＞0与（※）矛盾；
当b∈[1，2]时，g（x）_min=g（1）=4﹣b²≥0也与（※）矛盾；
当b＞2时， ．
综上，实数b的取值范围是 ．