题目
题型:月考题难度:来源:
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)求F(x)=f(x)﹣g(x)的极小值;
(3)是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由.
答案
则f′(0)=n=0,f′(﹣1)=﹣2m+n=﹣2,从而n=0,m=1,
∴f(x)=x2f′(x)=2x,g′(x)=3ax2+b.
由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),得a+b﹣3=1,3a+b=2,解得a=﹣1,b=5.
∴g(x)=﹣x3+5x﹣3(x>0).
(2)F(x)=f(x)﹣g(x)=x3+x2﹣5x+3(x>0),
求导数得F′(x)=3x2+2x﹣5=(x﹣1)(3x+5).
∴F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,
从而F(x)的极小值为F(1)=0.
(3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),
而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x﹣1.下面验证 都成立即可.
由x2﹣2x+1≥0,得x2≥2x﹣1,知f(x)≥2x﹣1恒成立.
设h(x)=﹣x3+5x﹣3﹣(2x﹣1),即h(x)=﹣x3+3x﹣2(x>0),
求导数得h′(x)=﹣3x2+3=﹣3(x﹣1)(x+1)(x>0),
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以h(x)=﹣x3+5x﹣3﹣(2x﹣1)的最大值为h(1)=0,
所以﹣x3+5x﹣3≤2x﹣1恒成立.
故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=﹣1.
核心考点
试题【设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx﹣3(x>0),f(x),g(x)的导函数为f′(x),g′(x),且f′(0)=0,f】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小。
(1)若|+|=1,试求的值;
(2)求的最值.
(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)若函数在区间(1,2)上不单调,求a的取值范围.
(1)求证:fn(x)≥nx;
(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)﹣f2(x)在区间[a,0]上的值域为[ka,0],若存在,求出最小的k值及相应的区间[a,0],若不存在,说明理由.
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.
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