题目
题型:高考真题难度:来源:
(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小。
答案
∵∠ACB=45°,AD⊥BC,
∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC,
∴折起后AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴VA-BCD= ×AD×S△BCD= ×(3-x)× ×x(3-x)= (x3-6x2+9x)
设f(x)= (x3-6x2+9x) x∈(0,3),
∵f′(x)= (x-1)(x-3),
∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,3)上为减函数
∴当x=1时,函数f(x)取最大值
∴当BD=1时,三棱锥A-BCD的体积最大。
(2)以D为原点,建立如图直角坐标系D-xyz,
由(1)知,三棱锥A-BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2
∴D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0),
且=(-1,1,1)设N(0,λ,0),
则=(-,λ-1,0)
∵EN⊥BM,
∴·=0
即(-1,1,1)(-,λ-1,0)=+λ-1=0,
∴λ=,
∴N(0,,0)
∴当DN=时,EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为=(x,y,z),
由及=(-1,,0)得,
取=(1,2,-1)
设EN与平面BMN所成角为θ,
则=(-,,0)
sinθ=|cos<,>|=||==
∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°
。
核心考点
试题【如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2所示),(1)】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若|+|=1,试求的值;
(2)求的最值.
(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)若函数在区间(1,2)上不单调,求a的取值范围.
(1)求证:fn(x)≥nx;
(2)是否存在区间[a,0](a<0),使函数h(x)=f3(x)﹣f2(x)在区间[a,0]上的值域为[ka,0],若存在,求出最小的k值及相应的区间[a,0],若不存在,说明理由.
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形形罐子体积最大?并求最大面积.
(1)当时,讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=x2﹣2bx+4,当,若对任意∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f()+g(x2)≤0,求实数b的取值范围.
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