题目

题型：期末题难度：来源：

设函数f（x）=x³﹣ax，x∈R．过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣kf（x﹣1）≥0恒成立，求实数k的取值范围．

答案

解：（1）∵f（x）=x³﹣ax，x∈R，
∴f′（x）=3x²﹣a≥﹣a，
∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=﹣a，
∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，
∴﹣a=﹣1，故a=1．
（2）∵a=1，
∴f（x）=x³﹣x，f′（x）=3x²﹣1，
令f′（x）=3x²﹣1=0，得x=
列表讨论：

由表讨论知：函数f（x）的单调增区间是 （﹣∞，﹣）、（，+∞）；
单调减区间是（﹣，）．极大值f（﹣）=﹣+=，极小值f（）==﹣．
（3）∵f（x）﹣kf（x﹣1）≥0，f（x）=x³﹣x，
∴k≤====1+，
∵x∈（1，+∞），当1＜x＜2时，﹣2＜1+＜1
当x=﹣2时，1+＜+∞，
当x＞2时，1+＞1
∴k≤﹣2．